Waclaw Sierpinski Beiträge Zu Fraktals Forex

Wac322aw Sierpi324ski Wac322aw Vater von Sierpi324ski war Arzt. Er besuchte die Schule in Warschau, wo sein Talent für Mathematik schnell von seinem ersten Mathematiklehrer entdeckt wurde. Es war eine Zeit der russischen Besetzung Polens und es war eine schwierige Zeit für die begabte Sierpi324ski in Polen zu erziehen. Die Russen hatten ihre Sprache und Kultur auf die Polen gezwungen, die Veränderungen zwischen allen Sekundärschulen, die zwischen 1869 und 1874 durchgeführt wurden, zu durchbrechen. Das russische Ziel war, den Analphabetismus in Polen so hoch wie möglich zu halten, so dass sie das Lernen und die Zahl der Studenten abschreckten. Trotz der Schwierigkeiten trat Sierpi324ski 1899 in das Institut für Mathematik und Physik der Universität Warschau ein. Es wäre genauer, es als die Czar-Universität zu bezeichnen, da es sich hier um den offiziellen Namen der Universität handelte, die 1869 zur russischen Universität wurde. Die Vorlesungen an der Universität waren alle in Russisch und die Mitarbeiter waren ganz Russisch. Es ist daher nicht verwunderlich, dass es die Arbeit eines russischen Mathematikers, eines seiner Lehrer Voronoy sein würde. Dass erste Sierpi324ski angezogen. Im Jahre 1903 bot die Fakultät für Mathematik und Physik einen Preis für den besten Aufsatz eines Studenten über Voronoys Beitrag zur Zahlentheorie an. Sierpi324ski wurde im Wettbewerb für seine Dissertation mit der Goldmedaille ausgezeichnet. Er beschrieb die Ereignisse (vgl. A Rotkiewicz, W. Sierpinski8217s Arbeiten zur Theorie der Zahlen, Rend, Circ. Mat. Palermo (2) 21 (1972), 5-24, 12): -. Ich wurde von der Universität mit einer Goldmedaille für die Arbeit in einem Wettbewerb über die Theorie der Zahlen ausgezeichnet. Es war meine erste wissenschaftliche Arbeit. Es wurde für die Veröffentlichung in der Iswestija der Warschauer Universität angenommen. Im folgenden Jahr gab es jedoch einen Streik, um einen Boykott der russischen Schulen in Polen zu produzieren, und ich wollte nicht, dass meine erste Arbeit in russischer Sprache gedruckt wurde, und deshalb habe ich sie in Warschau Izvestia zurückgezogen. Aus diesem Grund wurde sie erst im Jahr 1907 in der mathematischen Zeitschrift "Die Arbeiten der Mathematik und Physik" von Samuel Dickstein gedruckt. Fünfzig Jahre nach seinem Abschluss an der Universität Warschau schaute Sierpi324ski auf die Probleme zurück, die er als Pole mit dem Abschluss seines Studiums zum Zeitpunkt der russischen Besetzung hatte: -. Mussten wir an einem jährlichen Vortrag über die russische Sprache teilnehmen. Jeder der Studenten machte es zu einem Ehrenpunkt, die schlimmsten Ergebnisse in diesem Thema zu haben. Ich antwortete nicht auf eine einzige Frage. Und ich bekam eine unbefriedigende Marke. Ich habe alle meine Prüfungen bestanden, dann schlug mir der Lektor vor, ich solle eine Wiederholungsprüfung machen, sonst wäre ich nicht in der Lage, den Grad eines Kandidaten für Mathematik zu erlangen. Ich verweigerte ihm, dass dies der erste Fall an unserer Universität sei, dass jemand, der in allen Fächern hervorragende Noten hat, die Dissertation akzeptiert und eine Goldmedaille, nicht den Grad eines Kandidaten für die Mathematik erwerben würde, Grad eines echten Schülers (merkwürdigerweise war das der niedrigere Grad genannt) wegen einer unteren Marke in der russischen Sprache. Sierpi324ski hatte das Glück, dass der Lektor seine russische Sprachlehrerpraxis geändert hat, damit er seinen Abschluss machen konnte. Wie er sagt: - Der Polizist war menschlich. Die Ergebnisse in der Preis-Essay, dass Sierpi324ski schrieb im Jahre 1904 waren ein wichtiger Beitrag zu einem berühmten Problem auf Gitterpunkte. Angenommen, R (r) bezeichnet die Anzahl der Punkte (m, n), m. N 8712 Z, die in einer Kreismitte O enthalten sind. Radius r. Es gibt eine Konstante C und eine Zahl k mit Let d den Minimalwert von k. Gauss bewies im Jahre 1837, dass d 8804 1. Sierpi324skis wichtigsten Beitrag war zu zeigen, dass es möglich, die Ungleichheit zu d 8804 2 3 verbessern. 1913 verkürzte Edmund Landau den Prozeß Sierpi324skis und beschrieb das Ergebnis als tiefgründig. Lassen Sie uns einen Augenblick abschweifen, um einige weitere Arbeiten zu diskutieren, die aus diesem Ergebnis von Sierpi324ski auf das, was oft das Gauss-Kreisproblem genannt wird, flossen. 1915 bewiesen Hardy und Landau, dass d gt 1 2. Während im Jahre 1923 van der Corput bewies, dass d lt 2 3. Das folgende Jahr Littlewood und Walfisz bewiesen, dass d 8804 37 56. Was im folgenden Jahr auf d 8804 163 247 verbessert wurde. Leichte Verbesserungen wurden von Vinogradov im Jahre 1932 und Titchmarsh im Jahr 1934 gemacht. Das beste Ergebnis, das ich EFR wissen, ist d 8804 7 11. Sierpi324ski graduierte 1904 und arbeitete für eine Weile als Lehrer für Mathematik und Physik in einer Mädchenschule in Warschau. Doch als die Schule wegen eines Streiks schloss, beschloss Sierpi324ski, nach Krakoacutew zu gehen, um für seine Promotion zu studieren. An der Jagiellonischen Universität in Krakoacutew besuchte er die Vorlesungen von Zaremba über Mathematik und studierte zusätzlich Astronomie und Philosophie. Er erhielt seine Promotion und wurde 1908 an die Universität Lemberg berufen. Tatsächlich war es 1907, dass Sierpi324ski sich zunächst für die Theorie der Theorie interessierte. Es geschah, als er auf einen Satz stieß, der besagte, dass Punkte in der Ebene mit einer einzelnen Koordinate spezifiziert werden konnten. Er schrieb an Banachiewicz. Der damals in Goumlttingen war, und fragte ihn, wie ein solches Ergebnis möglich sei. Er erhielt eine Antwort von einem Wort Cantor. Sierpi324ski begann, Theorie zu studieren, und 1909 gab er die erste Vorlesung, die ganz der Theorie der Theorie gewidmet war. Während seines Lebens Sierpi324ski behauptete eine unglaubliche Ausgabe der Forschung Papiere und Bücher. Während der Jahre 1908 bis 1914, als er an der Universität von Lemberg unterrichtete, veröffentlichte er drei Bücher zusätzlich zu vielen Forschungsarbeiten. Diese Bücher waren Theorie der irrationalen Zahlen (1910), Outline of Set Theory (1912) und The Theory of numbers (1912). Als der Erste Weltkrieg 1914 begann, waren Sierpi324ski und seine Familie in Russland. Zu dieser Zeit versuchten die Regierungen von Österreich und Russland, die polnische Frage als politische Waffe zu benutzen. Sierpi324ski wurde in Viatka interniert. Jedoch Egorov und Luzin hörten, dass er interniert worden und arrangiert wurde, damit er nach Moskau gehen durfte. Sierpi324ski verbrachte den Rest der Kriegsjahre in Moskau mit Luzin. Gemeinsam begannen sie das Studium analytischer Sätze. Im Jahre 1916, während seiner Zeit in Moskau, Sierpi324ski gab das erste Beispiel einer absolut normalen Zahl, das ist eine Zahl, deren Ziffern mit gleicher Häufigkeit auftreten, in welcher Basis es geschrieben wird. Borel hatte bewiesen, dass solche Zahlen existieren, aber Sierpi324ski war der erste, der ein Beispiel gab. Als der Erste Weltkrieg 1918 endete, kehrte Sierpi324ski nach Lemberg zurück. Doch kurz nach der Wiederaufnahme seiner Ernennung in Lemberg erhielt er eine Stelle an der Universität Warschau, die er annahm. 1919 wurde er zum Professor in Warschau befördert und verbrachte dort den Rest seines Lebens. Im Jahr 1920 Sierpi324ski, zusammen mit seinem ehemaligen Studenten Mazurkiewicz. Gründete die wichtige mathematische Zeitschrift Fundamenta Mathematicae. Sierpi324ski bearbeitete die Zeitschrift, die sich auf Papiere zur Mengenlehre spezialisierte. Aus dieser Zeit arbeitete Sierpi324ski vor allem im Bereich der Mengenlehre, aber auch auf Punktsatztopologie und Funktionen einer reellen Variablen. In der Set-Theorie leistete er wichtige Beiträge zum Axiom der Wahl und zur Kontinuumshypothese. Er studierte die Sierpi324ski-Kurve, die einen geschlossenen Weg beschreibt, der jeden inneren Punkt eines Quadrats enthält. Die Länge der Kurve ist unendlich, während die von ihr umschlossene Fläche diejenige des Quadrats ist. Sierpi324ski fuhr fort, mit Luzin auf Untersuchungen von analytischen und projektiven Sätzen zusammenzuarbeiten. Seine Arbeit an Funktionen einer reellen Variable umfasst Ergebnisse über funktionale Reihen, Differenzierbarkeit von Funktionen und Baire s Klassifizierung. Sierpi324ski war auch mit der Entwicklung der Mathematik in Polen sehr beschäftigt. Er war mit der Wahl zur polnischen Akademie im Jahre 1921 geehrt worden, und er wurde Dekan der Fakultät an der Universität von Warschau im selben Jahr. 1928 wurde er stellvertretender Vorsitzender der Warschauer Wissenschaftlichen Gesellschaft und wurde im selben Jahr zum Vorsitzenden der Polnischen Mathematischen Gesellschaft gewählt. 1939 veränderte sich das Leben in Warschau dramatisch mit dem Zweiten Weltkrieg. Sierpi324ski arbeitete weiter in der U-Bahn-Warschau-Universität, während sein offizieller Job war ein Beamter in den Ratsbüros in Warschau. Seine Veröffentlichungen wurden fortgesetzt, da er es geschafft hatte, Papiere nach Italien zu schicken. Jede dieser Papiere endete mit den Worten: - Die Beweise dieser Theoreme erscheinen in der Veröffentlichung der Fundamenta Mathematicae, die jeder verstand, dass Polen überleben wird. Nach dem Aufstand von 1944 verbrannten die Nazis sein Haus und zerstörten seine Bibliothek und persönliche Briefe. Sierpi324ski sprach von den tragischen Ereignissen des Krieges während einer Vorlesung, die er 1945 an der Jagiellonen-Universität in Krakoacutew schrieb (vgl. A Schinzel, Waclaw Sierpinski8217s Papiere zur Theorie der Zahlen, Acta Arithmetica 21 (1972), 7-13., 13 ). Er sprach von seinen Studenten, die im Krieg gestorben waren: - Im Juli 1941 wurde einer meiner ältesten Schüler Stanis322aw Ruziewicz ermordet. Er war ein pensionierter Professor der Jan Kazimierz Universität in Lemberg. Ein hervorragender Mathematiker und ein ausgezeichneter Lehrer. Im Jahre 1943 wurde einer meiner vornehmsten Studenten Stanis322aw Saks ermordet. Er war Assistenzprofessor an der Warschauer Universität, einer der führenden Experten der Welt in der Theorie des Integrals. Im Jahre 1942 wurde ein weiterer Student von mir, Adolf Lindenbaum ermordet. Er war ein Assistenzprofessor an der Warschauer Universität und ein bedeutender Autor von Werken über Set-Theorie. Nach der Auflistung der im Krieg ermordeten Kollegen wie Schauder und andere, die infolge des Krieges wie Dickstein und Zaremba starben. Sierpi324ski fuhr fort: - So wurden mehr als die Hälfte der Mathematiker, die in unseren akademischen Schulen lehrten, getötet. Es war ein großer Verlust für die polnische Mathematik, der sich auf einigen Gebieten wie der Theorie und der Topologie der Theorie positiv entwickelte. Neben den beklagenen persönlichen Verlusten, die die polnische Mathematik wegen der deutschen Barbarei während des Krieges erlitten hatte, erlitten sie auch materielle Verluste. Sie verbrannten die Warschauer Universitätsbibliothek, die mehrere tausend Bände, Zeitschriften, mathematische Bücher und Tausende von Nachdrucken von mathematischen Werken verschiedener Autoren enthielt. Fast alle Ausgaben der Fundamenta Mathematicae (32 Bände) und zehn Bände der Mathematischen Monographie wurden vollständig verbrannt. Privatbibliotheken aller vier Professoren der Mathematik an der Universität Warschau sowie eine ganze Reihe von Manuskripten ihrer Werke und Handbücher, die während des Krieges geschrieben wurden, wurden ebenfalls verbrannt. Sierpi324ski war der Autor der unglaublichen Anzahl von 724 Zeitungen und 50 Büchern. Er zog sich 1960 als Professor an der Universität Warschau zurück, übernahm aber bis 1967 ein Seminar über die Theorie der Zahlen an der Polnischen Akademie der Wissenschaften. Er setzte seine Redaktionsarbeit auch als Chefredakteur der Acta Arithmetica fort Begann er 1958 und als Redaktionsmitglied der Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Compositio Mathematica und Zentralblatt fuumlr Mathematik. Er erhielt so viele Ehren, dass es unmöglich wäre, sie alle hier zu erwähnen. Wir listen ein paar auf. Er wurde von den Universitäten Lwow (1929), Markus von Lima (1930), Amsterdam (1931), Tarta (1931), Sofia (1939), Prag (1947), Wroc322aw (1947), Lucknow , Und Lomonosov Universität Moskau (1967). Er wurde in die Geographische Gesellschaft von Lima (1931), die Royal Scientific Society of Liegravege (1934), die Bulgarische Akademie der Wissenschaften (1936), die National Academy of Lima (1939), die Royal Society of Sciences von Neapel (1939) gewählt ), Die Akademie der Wissenschaften (1950), die Akademie der Künste und Wissenschaften (1959), die Pariser Akademie (1960), die Königlich Niederländische Akademie (1961), die Akademie der Wissenschaften (1950) Wissenschaft von Brüssel (1961), der London Mathematical Society (1964), der Romanian Academy (1965) und der Päpstlichen Akademie der Wissenschaften (1967). Rotkiewicz, der ein Student der Sierpi324skis schrieb in, A Rotkiewicz, W Sierpinski8217s Werke auf die Theorie der Zahlen, Rend. Circ. Matte. Palermo (2) 21 (1972), 5-24., 12: - Sierpi324ski hatte außergewöhnlich gute Gesundheit und eine fröhliche Natur. Er konnte unter allen Umständen arbeiten. Er mochte keine Korrekturen an seinen Papieren. Als jemand eine Korrektur vorschlug, fügte er eine Zeile hinzu: Herr X bemerkte dies. Er war ein kreativer Geist und mochte kreative Mathematik. Er war der größte und produktivste der polnischen Mathematiker. Artikel von: JJ OConnor und EF Robertson Klicken Sie auf diesen Link, um eine Liste der Glossareinträge für diese Seite zu sehen Liste der Referenzen (18 Bücherartikel) Lodes Computergraphik Tutorial Sierpinski-Fraktale Inhaltsverzeichnis Einleitung Es gibt eine ganze Menge Fraktale, die nach Waclaw benannt sind Sierpinski, ein polnischer Mathematiker, der von 1882 bis 1969 lebte. Hierzu gehören das Sierpinski-Dreieck, der Sierpinski-Teppich, die Sierpinski-Pyramide und die Sierpinski-Würfel (die 3D-Version des Sierpinski-Teppichs). Die 2D-Figuren werden hier beschrieben. Sierpinski-Dreieck Das Sierpinski-Dreieck, auch Sierpinski-Dichtung und Sierpinski-Sieb genannt, kann von Hand wie folgt gezeichnet werden: Beginnen Sie mit einem einzigen Dreieck. Dies ist das einzige Dreieck in dieser Richtung, alle anderen werden auf den Kopf gestellt: In diesem Dreieck, ziehen Sie ein kleineres Dreieck auf dem Kopf. Seine Ecken sollten genau in den Zentren der Seiten des großen Dreiecks liegen: Zeichnen Sie nun in jedem der drei Dreiecke, die nach oben zeigen, drei kleinere Dreiecke, und zwar mit den Ecken in den Zentren der Seiten der Dreiecke, die nach oben zeigen: Nun gibt es 9 Dreiecke, die nach oben zeigen. In jedem dieser 9 ziehen Sie wieder kleinere Dreiecke nach oben: In den 27 Dreiecken, die nach oben zeigen, wieder 27 Dreiecke nach unten zeigen: Nach unendlichen Schritten, und wenn alle Dreiecke nach oben gefüllt würde, haben Sie das Sierpinski Sieve. Bei jedem Schritt müssen mehr Dreiecke gezeichnet werden. Dies ist ein rekursiver Prozess, und es kann die gleiche Weise mit einem Computer gezogen werden. Mit Rekursion Nun programmieren Sie, dass das, was von Hand auf dem Computer gezeichnet wurde, indem Sie ein Dreieck Zeichnung Funktion, die sich wieder nennen sich dreimal, bis n Schritte von Rekursionen erreicht werden. Dieses Programm ist so gemacht, dass es für jedes anfängliche Dreieck funktioniert, es muss nicht symmetrisch sein, die einzige Bedingung ist, dass die Ecken innerhalb des Bildschirms liegen. Die Hauptfunktion richtet den Bildschirm ein und ruft die drawSierpinski-Funktion auf. Die drawSierpinski-Funktion selbst zeichnet nur ein Dreieck: das erste, das nach oben zeigt. Dann rufen itll die Funktion subTriangle, und das ist die eigentliche rekursive Funktion, die alle die umgekehrten Dreiecke zeichnen. Die Funktion subTriangle zeichnet ein einzelnes Dreieck, mit den drei Ecken geben Sie es mit seinen Parametern. Dann ruft es sich 3 mal wieder an, um 3 kleinere Dreiecke zu zeichnen. Für diese 3 Dreiecke werden natürlich auch neue Ecken verwendet, die berechnet werden müssen. Wenn im folgenden Bild das schwarze Dreieck das große Dreieck ist, das die SubTriangle-Funktion gezeichnet hat, sind die drei roten Dreiecke die neuen, die berechnet werden müssen: Die Ecken des großen Dreiecks sind a1, a2 und a3. Die Ecken eines der kleineren Dreiecke sind b1, b2 und b3, wie Sie auf dem Bild sehen können. Wenn wir alle diese Punkte als Vektoren sehen, sind die Formeln für die Punkte b (mit den bekannten Punkten): b3 (a1 a2) 2, da b3 in der Mitte zwischen a1 und a2 liegt, ist dieser Punkt der Durchschnitt von A1 und a2 b1 b3 (a1 - a3) 2: Wenn Sie gut untersuchen, sehen Sie, dass der Punkt b1 die Summe des Punktes b3 und des Vektors (a1 - a3) 2 ist, der durch 2 dividiert wird, weil die entsprechende Seite der Kleineres Dreieck ist halb so groß. B2 b3 (a2 - a3) 2: dies ist der anderen Formel sehr ähnlich, aber mit der anderen Seite. Für die anderen 2 kleinen Dreiecke ist etwas Ähnliches getan. In dem Code sind wir mit einer Vektorklasse arent, also sind x und y separate Variablen, und wegen der Art, wie Vektoradditionen wirken, müssen wir einfach das gleiche doppelt tun, einmal für x und einmal für y mit demselben Formeln. Für die Koordinaten von Dreiecksecken werden Gleitkommazahlen für mehr Genauigkeit verwendet. Mit diesem Wissen kann das Programm gemacht werden, werden die Kommentare in den folgenden Code wird erklärt, wie es funktioniert: Heres, was Sie sehen, nach dem Ausführen des Programms: Mit AND Die oben angegebene Methode ist nur eine der sehr vielen Möglichkeiten, um Sierpinski Triangles zu ziehen. Eine dieser Möglichkeiten ist mit dem AND-Operator. Wenn Sie von einem Pixel die x-Koordinate als Ganzzahl und die y-Koordinate als Ganzzahl nehmen und den UND-Operator auf ihnen verwenden, ziehen Sie, wenn das Ergebnis 0 ist, ein Pixel einer Farbe, andernfalls ein anderes. Youll sehen dann ein Sierpinski Triangle Pop-up Der AND-Operator auf zwei Ganzzahlen, nimmt beide Ganzzahlen als Binärzahl und verwendet AND auf jedem der entsprechenden Bits. Der AND-Operator auf Bits funktioniert wie folgt :: Dies geschieht für jedes Bit der Ganzzahl, und nur wenn die resultierende Ganzzahl im Binärwert 0000000000000000 ist, erhält das Pixel eine andere Farbe. Der Code ist eine sehr einfache Doppelschleife, die durch jedes Pixel geht und prüft, ob x amp y 0 ist oder nicht, wobei amp der binäre UND-Operator in C ist. Durch die Verwendung von x amp y innerhalb einer if-Bedingung ist es nur falsch in der Fall x amp y ist 0, und in allen anderen Fällen ein weißes Pixel gezeichnet wird, so das Ergebnis wird ein schwarzes sierpinski Dreieck auf weißem Hintergrund sein. Das Ergebnis sieht am besten aus, wenn die Bildschirmgrößen eine Potenz von 2 sind, sonst sehen Sie nur einen Teil des Dreiecks. Mit einer zufälligen Funktion Eine weitere völlig andere Methode, um eine Näherung der Sierpinski Triangle-Arbeiten wie folgt zu zeichnen: 1) definiere 3 Punkte mit den Koordinaten: a (ax, ay), b (bx, by) und c (cx, cy). Diese werden die Ecken des großen äußeren Dreiecks. 2) definiere einen anderen Punkt, p (px, py) und lege ihn in eine Ecke des Dreiecks (zum Beispiel px ax und py ay). 3) ziehen Sie einen Punkt an der Stelle (px, py) mit einem Bleistift 4) rollen Sie einen theoretischen Würfel mit 3 Seiten (Seite 0, Seite 1 und Seite 2), oder machen Sie nur eine zufällige Wahl zwischen 0, 1 und 2. 5) Ändern Sie nun die Koordinaten des Punktes p, je nachdem, welche Zahl Sie rollten: Wenn Sie 0 rollten, p (pa) 2, wenn Sie 1 rollten, p (pb) 2, wenn Sie 2 rollten, p (pc) 2 6) zurück zu Schritt 2, dort platzieren Sie den Punkt an der neuen Position von p, und halten Sie Schleife durch diese, bis Sie müde werden Obwohl der gesamte Prozess ist randomisiert, nach genug Schritten, wird das Ergebnis mehr und mehr wie ein Sierpinski Triangle Dies ist nicht zu schwer zu Code, die Kommentare erklären, wie alles funktioniert: Je größer Sie den numSteps Wert, desto mehr Pixel werden gezeichnet. Diese Bilder zeigen das Ergebnis für 1000, 10000 und 100000 Schritte: Durch das Spielen ein wenig mit den Formeln können Sie andere Formen, wie zum Beispiel dieses: Gotten, indem Sie einige der Divisionen durch 2.0 in Divisionen durch 3.0. Mit Rectangle Recursion Eine weitere Möglichkeit, ein Sierpinski Triangle zu zeichnen, ist eine rekursive Funktion, die Rechtecke verwendet. Der Rekursionsvorgang funktioniert folgendermaßen: Ändern Sie jedes Rechteck in eine L-Form: Die L-Form selbst besteht aus 3 Rechtecken, die wieder in eine L-Form umgewandelt werden usw. Wenn Sie dies lange genug tun, sehen itll mehr aus Und mehr wie ein Sierpinski-Dreieck. Dies ist wieder etwas, das mit einer rekursiven Funktion programmiert werden kann, ähnlich dem rekursiven Code, der höher gegeben wird, aber diesmal werden Rechtecke gezeichnet, und neue Koordinaten für 3 neue Rechtecke müssen jedesmal berechnet werden. Das Ergebnis für 3, 5 und 8 Rekursionen: Um die Rekursion etwas besser zu untersuchen, versuchen Sie zu sehen, was passiert, wenn die drawSierpinski-Funktion nur 1 Mal anstelle von 3 aufruft (die anderen 2 Aufrufe werden kommentiert): jetzt, wenn maxRecursions 8 ist, werden nur 8 Rechtecke gezeichnet, die jeweils kleiner sind als die vorherige: Nun aktivieren wir zwei der Anrufe zu sich selbst, und schon werden mehr Quadrate gezeichnet, aber die Form ist noch nicht so komplex. Nun ist auf der rechten Seite 1 großes Quadrat, links davon 2 halbe Quadrate, links von diesen 4 14th Plätzen, links von diesem 8 18. Quadrate, und so weiter, mit in der linken Reihe 128 Quadrate, die 128 Mal kleiner sind als das große Quadrat auf der rechten Seite. Und schließlich, wenn wir alle 3 Anrufe an sich selbst ermöglichen, bekommen wir das Sierpinski-Dreieck, und so viele Plätze sind gezeichnet, dass fast alles weiß ist: Theres noch einen anderen Weg, um ein Sierpinski-Dreieck zu bekommen: mit einem zellularen Automaten, aber dies könnte abgedeckt werden In einem späteren Artikel. Sierpinski-Teppich mit Rechteck-Rekursion Ein anderes Fraktal ist der Sierpinski-Teppich. Um eine von Hand zu zeichnen, beginnen Sie mit einem weißen Quadrat, und ziehen Sie dann ein schwarzes Quadrat in der Mitte mit jeder Seite 13th der Größe des ursprünglichen Quadrats: Jetzt, um das schwarze Quadrat, sind 8 weiße Quadrate. In jedem dieser 8, ziehen wieder ein schwarzes Quadrat, das 18. ist kleiner, und in der 8864 neue weiße Quadrate, tun es noch einmal: Halten Sie dies bis Unendlichkeit, und erhalten Sie einen sierpinski Teppich Um es zu zeichnen, können wir eine rekursive verwenden Funktion, die ziemlich ähnlich wie die für das Sierpinski-Dreieck mit Rechtecken verwendet, aber jetzt muss sich die Funktion nennen sich 8 mal anstelle von nur 3, und verwenden Sie verschiedene Koordinaten. Die Koordinaten x1, y1-x2, y2 werden in 9 Abschnitte geteilt, in der Mitte wird das Rechteck mit rect gezeichnet und die anderen 8 werden als Parameter für die drawCarpet-Aufrufe des nächsten Rekursionsschrittes verwendet. Und heres das Ergebnis für 6 Rekursionsschritte: Wenn Sie eine größere wollen, verwenden Sie eine Auflösung von 729729 Pixel und 7 Rekursionen. Mit Ternary Numbers Theres auch eine Methode, um die Sierpinski-Teppich, die ähnlich wie die AND-Methode für das Zeichnen des sierpinski-Dreieck. Das heißt, Sie machen eine Berechnung für jedes Pixel zu überprüfen, ob es gefärbt werden soll oder nicht. Diese Methode ist jedoch ein wenig komplexer, da Sie in Basis 3 arbeiten müssen, d. H. Mit ternären Zahlen. Ternäre Zahlen haben Ziffern, die 0, 1 oder 2 sein können. Die Methode funktioniert folgendermaßen: Nehmen Sie die Koordinaten des Pixels als Ganzzahlen in ternärer Schreibweise. Prüfen Sie bei jeder Ziffer, ob NICHT beide Ziffern 1 sind. Wenn dies nie geschieht, dann gehört der Punkt zum Teppich. Um die erste (rechtsextreme) ternäre Ziffer einer Zahl zu finden, modulo dividiere sie durch 3 (Modulo-Division durch 3 funktioniert wie folgt: 030, 131, 232, 330, 431, 532, 630, 731 usw.). Um die zweite ternäre Zahl zu finden, teilen Sie zuerst die Zahl durch 3 (ganzzahlige Teilung, dh entfernen Sie die Zahlen hinter dem Punkt), und modulo dann es dividieren 3. Um die dritte ternäre Zahl zu finden, teilen Sie es durch 9, dann modulo dividieren durch 3. Um das vierte zu finden, durch 27 zu dividieren, dann modulo durch 3 zu dividieren usw. Im folgenden Beispiel wird eine Auflösung von 243 mal 243 Pixeln verwendet, so dass wir nur die ersten 5 ternären Ziffern der Pixelkoordinaten überprüfen müssen, da bei 5 Ternären Ziffern können Sie alle Zahlen von 0 bis 242 darstellen. Die Bedingung im if ist auf viele Zeilen geschrieben und die Bedingung prüft für jede der 5 Ziffern, wenn nicht sowohl die eine von der x-Koordinate als auch die von y Koordinate sind zusammen 1. Wenn die Bedingung wahr ist, wird ein weißes Pixel bei x, y gezeichnet. Das Ergebnis sieht genauso aus wie beim vorherigen Programm, auch wenn es sich um eine völlig andere Methode handelt: Wenn Sie die Auflösung erhöhen wollen, müssen Sie eine zusätzliche Bedingung für die sechste Stelle (wo Sie 243 durchschneiden), etc Für jedes Mal, wenn Sie die Auflösung verdreifachen. Die Bedingung, die für die 5. Stelle (die 5. Ternärziffer von rechts) überprüft, ist diejenige, die für das große schwarze Quadrat in der Mitte verantwortlich ist. Die Bedingung für die vierte Ziffer ist diejenige, die für die 8 kleineren Quadrate um das Mittelquadrat verantwortlich ist usw. Wenn Sie die Bedingung für die 5. Ziffer entfernen, ist das schwarze Mittelquadrat weg, und stattdessen erhalten Sie dieses: Wenn Sie Entfernen Sie stattdessen die Bedingung, die für die 3. Ziffer prüft, sind alle schwarzen Quadrate der dritten Ordnung weg, während alle anderen links sind: Wenn Sie also die Auflösung verdreifachen, wird das Quadrat, das jetzt das Zentrum Platz wird ein Quadrat in der Oben links, und Sie benötigen ein noch größeres schwarzes Quadrat in der neuen Mitte, weshalb Sie eine neue Bedingung benötigen, die für die 6. Stelle dann überprüft. Zuletzt bearbeitet: 2004 Copyright (c) 2004-2007 von Lode Vandevenne. Alle Rechte vorbehalten.